Төрийн соёрхолт математикч, шинжлэх ухааны доктор (Sc.D), МУИС-ийн профессор, ШУА-ийн Математик, тоон технологийн хүрээлэнгийн Математикийн салбарын эрхлэгч Рэнцэний ЭНХБАТ
Математик нь
хүн төрөлхтний эрэлт хэрэгцээгээр бий болсон өнө эртний шинжлэх ухаан бөгөөд
хүний оюун ухаан, сэтгэлгээний хосгүй бүтээл төдийгүй байгаль, нийгмийн юмс,
үзэгдлийн мөн чанарт нэвтрэх шинжлэх ухааны танин мэдэхүйн хүчирхэг хэрэгсэл
даруй мөн. Өгөгдсөн талбайг яаж хоёр тэнцүү хэсэгт хуваах, уг талбайн хэмжээг
хэрхэн тодорхойлох, суваг шуудуу яаж татах болон барилга байгууламжийн талбайн
тооцоо зэрэг математикийн бодлогууд нь оюун ухаант хүн үүссэн эрт дээр үеэс
тавигдаж ирсэн болой. Газар хэмжихэд ашиглах олс нь анхны геометрийн багаж
болж, Эртний Египетэд бүр олс татагч гэсэн мэргэжил ч байжээ. Олсыг шугам,
гортиг, тэгш өнцөгт гурвалжин хэлбэрээр ашигладаг, олсыг 12 хувааж, 13
зангилаатай болгон 3,4,5 нэгж урттай гурвалжинаар тэгш өнцөгт байгуулах нь
Пифагорын теоремын (32 + 42
= 52) шууд практик хэрэглээ болсон ажгуу.
Манай эринээс
3500 гаруй жилийн өмнө эртний Египетэд математик хөгжиж байсны нэг нотолгоо бол
арифметик, геометр, алгебрийн төрөл бүрийн 87 бодлого багтаасан математикийн
бодлогын хураамж нь Риндийн бичвэр юм. Энэхүү бүтээл нь хүн төрөлхтөнд одоогоор
мэдэгдэж буй эртний математикийн анхны бүтээлд зүй ёсоор тооцогддог бөгөөд уг
ховор бүтээлийг МЭӨ 1650 онд амьдарч байсан Ахмес гэх хүн ургамлын навчин дээрх
эх бичвэрийг эмхэтгэж үлдээснийг 1858 онд Шотландын эрдэмтэн А.Ринд нээж
илрүүлсэн байдаг. Энэхүү бүтээлд тоон хэмжигдэхүүн, функц, бутархай, шугаман
тэгшитгэл, прогресс болон геометр биетийн эзлэхүүн олох, өгөгдсөн хэмжээтэй
газрын талбай олох зэрэг бодлогууд багтжээ. А.Риндийн бичвэр нь эртний Грект
МЭӨ 650 онд нэвтэрсэн гэсэн баримт бий.
Математикийн
үүсэл хөгжил нь МЭӨ 570 онд төрсөн эртний Грекийн шинжлэх ухааны эцэг Пифагор
болон түүний шавь нарын бүтээлтэй салшгүй холбоотой бөгөөд дараагийн 1000 жилд
Грекийн гүн ухаан, оюун санааны сэтгэлгээг үндэслэгч, агуу Фалестай нөхөрлөж
түүнээс суралцаж байсан тухай таамаглал ч байдаг.
Пифагорын үзэл
баримтлалыг итгэл үнэмшилээр дагагч Пифагорчууд оюун санааныхаа тэргүүлэгчийн
удирдлагаар гүн ухаан, математик, одон орныг судалж иржээ. Пифагорчуудын эвсэлд
орохын тулд элсэлтийн шалгалт өгөх амаргүй даваа, шалгалтандаа тэнцээгүй, орж
чадаагүй гомдсон нөхдүүд Пифагорчуудын орон байрыг шатааж, хорлон сүйтгэж
байсан нь тэдний эвсэл тарах нэг шалтгаан болсон гэж үздэг. Үүнтэй төстэй явдал
2500 жилийн дараа Монголд ч давтагдаж нэрт математикч Ц.Дашдоржийн цонхыг
шалгалтад унасан оюутнууд өвлийн хүйтэнд нэг бус удаа хагалж байсан нь бас л
хорлонтой хэрэг юм. Пифагорчуудын оюун санааны баримталдаг үндсэн зарчим “Бүх
юмс тоо” гэснээс харахад математикт маш өндөр ач холбогдол өгч байсан нь
илэрхий. Пифагорын талаар нэлээд сонирхолтой домог гарсан бөгөөд тэрээр
залуудаа олимпийн тоглолтод оролцож нударган зодооны аварга болж байжээ. Дунд
сургуульд Пифагорын теоремыг сонсоогүй, судлаагүй хүн байхгүй биз. Энэ теоремыг
тухайн үедээ 100 үхрээр өргөл барьж тэмдэглэсэн сонин домог бий. Пифагорын
нээлтээс хойш 2500 жилийн дараач энэ теоремыг дэлхийн бүх сургуульд зааж
буйгаас харахад ямар чухал, их нөлөөтэй математикийн үр дүн болсон бэ гэдэг нь
ойлгомжтой байна.
Францын математикч П.Ферма 1637 онд Пифагорын теорем дээр тулгуурлаж xn+yn=zn(n>2)хэлбэртэй тэгшитгэл эерэг, бүхэл тоон шийдтэй юү гэсэн бодлого тавьсан байдаг. Фермагийн их теорем гэж алдаршсан энэ бодлого 350 гаруй жилийн турш олон үеийн дэлхийн математикчдын анхаарлын төвд байж, 1995 онд Америкийн математикч Э.Уайлс уг асуултад хариу өгч бүрмөсөн шийдэж, цэг тавьсан юм. Дашрамд дурдахад, Э.Уайлс энэ асуудлыг шийдэхийн тулд долоон жилийн турш бүх орчноосоо тусгаарлагдан, уйгагүй нөр их хөдөлмөрлөсний үр дүнд 129 хуудас баталгаагаар нотолжээ. Гол үр дүн нь гэвэл дээрх бодлого шийдгүй байсан нь математикчдыг гонсойлгосон боловч түүнд хэрэглэсэн шинэ математик арга, сэтгэлгээний хандлага нь математикийг хөгжүүлэхэд ихээхэн түлхэц өгсөн нь дамжиггүй.
Пифагорчуудын
оюун санаа, сэтгэлгээний үзэл баримтлал эртний Грек болон барууны гүн ухаанд
гүнзгий нөлөө үзүүлсэн гэж зүй ёсоор үздэг. Математик, гүн ухааны мэдлэгийн
өргөн цар хүрээтэй сурталчилгаа, түгээлт нь алдарт Платоны Академийн үүсэл
хөгжилд чухал үүрэг гүйцэтгэсэн билээ. Чухамхүү Платоны оюун санаа,
сэтгэлгээний онол, ертөнцийн үүслийн онол, юмс үзэгдэл, цэвэр оюун ухааны
талаарх онол, үзэл баримтлал нь Пифагорчуудаас уламжлагдан ирсэн түүхтэй юм.
Тийм ч учраас Платоны Академийн үүдэнд бичсэн “Геометр мэдэхгүй хүн наашаа бүү
алх” гэсэн нь үүнийг илтгэнэ.
Математикийн
бодит юмс, үзэгдлийг тайлбарлах чанар нь Пифагорын үзэл санааны үндэс юм.
Пифагорчуудын үзэл санааг тууштай баримталж ирсэн XX зууны гарамгай эрдэмтэн
А.Эйнштейн энерги, массын хамаарлыг E=mc2гэж томьёолсон нь Пифагорын теоремтой хамтдаа
шинжлэх ухаан хөгжсөн бүх цагийн үеийн хамгийн алдартай хоёр томьёогоор
тодорсон билээ. Мэргэжлийн хөгжимчид үе үе Бетховены есдүгээр симфоныг
тоглодогтой адил судлаачид ч Пифагорын теоремын баталгааны шинэ шинэ
хувилбаруудыг нээж олсоор байна. Өнөөгийн байдлаар Пифагорын теоремын 371
баталгаа хийсэн бөгөөд суут Леонардо Да Винчи болон АНУ-ын 20 дахь ерөнхийлөгч
А.Гарфилд нар тус тус нэг баталгаа гаргажээ. Ийнхүү математикийн нэг үр дүн
хэдэн зуун жилээр хүн төрөлхтний оюун санаа, сэтгэлгээ, нийгмийн дэвшилд
нөлөөлж ирсэн нь үнэхээр гайхамшигтай юм.
Пифагор
хөгжмийг анх удаа математик талаас нь судалж,хөгжмийн хэлбэлзлийн давтамж
чавхдасны урттай урвуу хамааралтайг тогтоожээ. Тэрээр материаллаг ертөнц,
хөгжим, хийсвэр сэтгэлгээ зэрэг бүх юмс зөвхөн тоогоор илэрхийлэгднэ гэж тэрээр
үзэж байв. Платоны эрин үед соёлтой хүний заавал сурах ёстой тулгуур дөрвөн
зүйлс нь хөгжим, арифметик, геометр, астроном байлаа. Орчлон ертөнцийг зөвхөн
тоонуудын гайхамшигт хослол, түүний илэрхийлэл гэж эртний гүн сэтгэгчид үзсээр
иржээ.
Бүх юмсын
үндэс нь тооны нууцлаг чанар гэсэн Пифагорын сургаалыг баримталдаг суут
эрдэмтэд Кеплер, Коперник, Лейбниц, Ньютон, Эйнштейн нар байгалийн алдартай
хуулиудаа нээцгээсэн юм. Александр Македонскийн үүсгэсэн Александр хот нь манай
эриний өмнөх III зуунаас эхлэн бүтэн долоон зууны турш шинжлэх ухаан,
математикийн судалгааны төв болж, тэр үеийн нэрт сэтгэгчид нь Евклид, Архимед,
Эратосфен нар байсан юм.МЭӨ III зуун математикийн үсрэнгүй хөгжлийн зуун байсан
юм. Гидротехникийн нарийн байгууламж, цэрэг дайны төхөөрөмж, усан сан, далай
судлалын асуудал, геодизи болон газрын зураглал боловсруулах, астрономын
хэмжилтийн асуудал, механик, оптикийн зэрэг олон асуудлуудыг шийдэх хэрэгцээ
тэр үед гарснаар математик эрчимтэй урагшлан хөгжсөн байна.
МЭӨ 287 онд
төрсөн Архимед математикт цоо шинэ хандлага, математик сэтгэлгээний шинэ
эринийг авчирч, хөшүүргийн хуулиа нээж, Архимедын винт, Архимедын чулуу шиддэг
машин зэрэг оньсон төхөөрөмжүүдийг зохиосон билээ. Архимед анх удаа (пи)
тоог 0.03% алдааны нарийвчлалтай тодорхойлсон юм. Түүний амьдарч байсан төрөлх
Сиракуз хотыг харийн дайснууд түрэмгийлэн эзлэх үеэр судалгаагаа хийж байсан тэрээр
“Миний тойргийг бүү оролд” гэж хэлээд хороолгосон тухай гунигт домог ч бидний
үед хүрч иржээ.
Манай эриний
өмнөх III зуунд бичигдсэн математикийн гайхамшигт бүтээл бол Евклидийн “Эхлэл”
юм. Геометр ба арифметикийн зарчмуудыг тусгасан 13 боть энэхүү бүтээлд
математикийг системчлэн, аксиомчлах анхны оролдлогыг хийсэн байдаг.
Математикийн тодорхойлолт, аксиом, теоремын баталгааг анх бий болгосноор
“Эхлэл” нь бүх цаг үеийн математикчдын ажиллах зарчмыг тодорхойлсон суут бүтээл
болсон юм. Шулууны гадна орших цэгийг дайруулан өгөгдсөн шулуунтай параллель
шулуун нэгийг татаж болно гэсэн “Эхлэл”-ийн 5 дугаар аксиомын талаарх маргаан
XIX зуун хүртэл үргэлжилсэн байна. Энэ асуудлаар XVIII зууны агуу математикч
К.Гаусс судалгаа хийж, улмаар 1813 онд Евклидийн бус геометрийн үндсийг
тавьжээ. Евклидийн бус геометрийг Гауссаас үл хамааран системтэй хөгжүүлсэн хүн
бол Оросын суут математикч Н.И.Лобачевский юм. Аугаа математикч Б.Риман нь
физик орон зайн геометр бол Евклидийн бус геометр гэдгийг нотлон харуулсан бөгөөд
үүнийг суут А.Эйнштейн өөрийн харьцангуй онолдоо бүтээлчээр ашигласан байдаг.
Математикт хэрэглэгдэж ирсэн онол, аргуудаас хамааран математикийн хөгжлийг
ерөнхийд нь XVII зуун хүртэлх элементар математикийн эрин, түүнээс хойших үеийг
дээд математикийн хөгжлийн эрин гэж ангилах нь бий. XVII зуун бол математикийг
байгаль шинжлэлийн салбарт гайхамшигтай хэрэглэсэн үе бөгөөд чухамхүү энэ зуунд
Италийн алдарт эрдэмтэн Г.Галилей чөлөөт уналтын хууль, Германы астрономич
И.Кеплер гарагийн хөдөлгөөний хууль, Английн суут эрдэмтэн И.Ньютон бүх
ертөнцийн таталцлын хуулиа нээсэн билээ.
Францын суут
сэтгэгч Р.Декартын оруулж ирсэн хувьсах хэмжигдэхүүн болон Ньютон, Лейбниц
нарын үндэслэсэн интеграл-дефференциал тоолол нь математикт гарсан шинэ
хувьсгал болжээ. Өөрөөр хэлбэл, матери, юмсын хувьсал өөрчлөлт, хөдөлгөөнийг
математикаар томьёолох арга, хэрэгсэл бий боллоо гэсэн үг юм. XVII зууны
гарамгай математикчид ихэнхдээ философич, туршилтын физикч нар байсан бөгөөд
XVIII зуунд математик нь бие даасан мэргэжил болон хувирав. Энэ зууны хамгийн
аугаа математикч бол Л.Эйлер мөн. Швейцарь гаралтай тэрээр Оросын Шинжлэх
ухааны академид бүх насаараа ажиллажээ. Эйлер математик, механик, физик,
астроном зэрэг байгаль, шинжлэлийн бараг бүх салбарт ажиллаж XVIII зууны
математикийн хөгжлийг тодорхойлон, хүн төрөлхтөнд математикийн баялаг өв сан
үлдээсэн юм. Эйлерийн туурвисан эрдэм шинжилгээний 886 бүтээлийн рекордыг
эвдсэн математикч сүүлийн хоёр зуунд гараагүй болно. Эйлерийн үндэслэсэн
хамгийн бага үйлчлэлийн зарчим нь физикийн шинжлэх ухаанд онцгой үүрэг
гүйцэтгэсэн. Математикийн бүх салбарт суралцъя гэвэл Эйлерийн бүтээлийг судлах
хэрэгтэй гэж суут математикч К.Гаусс нэгэнтээ хэлсэн болФранцын математикч
Пьер-Симон Лаплас “Эйлер бол бид бүгдийн багш” гэж математикчдад захидаг байв.
Л.Эйлерийг бүх цаг үеийн хамгийн алдартай нэвтэрхий(универсаль) математикч гэж
үздэг нь ч ийм учиртай юм.
1795 онд П.
Лаплас хэт масстай эсвэл хүчтэй агшилтанд орсон биетэд татагдсан гэрэл түүнээс
гарч чадахгүй гэдгийг Ньютоны таталцлын хууль дээр үндэслэсэн нь хожим нь хар
нүх байсныг нотолсон төдийгүй хүн төрөлхтөн түүний зургийг анх удаа 2019 оны 4
дүгээр сарын 10-нд харсан билээ(https://www.bbc.com/news/science-environment-47873592).Түүнчлэн
XX зууны гарамгай онолын физикч С.Хокингхар нүхний математик загварыг
боловсруулж чухал үр дүнд хүрсэн билээ.
1707 онд
Английн математикч Э.Галлей харагдах орчноос алга болсон нэгэн сүүлт одыг 1758
онд буцаж гарч ирнэ гэж математикаар тооцсон нь биеллээ олж Ньютоны хуулийг
дэлхий дахинд алдаршуулсан юм. Механик, одон орон, гидродинамик, оптик,
цахилгаан соронзон долгионы онол зэрэг олон салбарт гарсан нээлтүүд нь
математикийн шинжлэх ухааны агуу увдис, хүч чадлыг хүн төрөлхтөнд харуулсан үйл
явдал байлаа. Олон мянган жилийн турш математик нь хүн төрөлхтний оюун ухаан,
хийсвэр сэтгэлгээний дээд илрэл болон хөгжиж, бодит ертөнцийг бидний танин
мэдэхүйн ертөнцтэй холбогч гүүр болж ирсэн түүхтэй. А.Эйнштейн математикийн
шинжлэх ухааны ач холбогдлыг өндрөөр үнэлэн математикт шамдан суралцаж
математикийн орчин үеийн арга, онолыг эзэмшин алдарт харьцангуйн онолоо нээсэн
нь энэ бүхний гэрч гэлтэй. Хэдийгээр Эйнштейнтэй ойролцоо цаг хугацааны үед
харьцангуйн онолын үндсийг Германы математикч Д.Гильберт, Францын математикч
А.Пуанкаре нар боловсруулсан боловч чухамхүү Эйнштейний агуу зөн мэдрэмж, суу
билэг, физик процессын мөн чанарыг гаргууд мэддэг байсан чанар нь түүнийг
харьцангуй онолын гол үндэслэгчээр нь тодруулсан билээ. Өөрөөр хэлбэл, Эйнштейн
Ньютоны онолыг цаашид улам гүнзгийрүүлэн өргөтгөж, орчлон ертөнцийн математик
загвар боловсруулсан гэсэн үг. Харьцангуйн онол нь хүн төрөлхтний ертөнцийг
үзэх үзлийг орвонгоор эргүүлж, шинжлэх ухаанд хувьсгал хийсэн онол юм. Энэхүү
онолын тусламжтайгаар хүн төрөлхтөн ертөнцийн үүсэл хөгжлийг танин мэдэхэд
чухал дэвшил гарсан юм.
Харьцангуйн
онолын таталцлын талбарын математик загвар нь дөрвөн хэмжээст огторгуйд 16
дифференциал тэгшитгэлийн системээр бичигдэнэ. Гол математик аппарат нь тухайн
уламжлалт дифференциал тэгшитгэл, тензор тоолол, Риманы геометр юм. Оросын
математикч А.Фридман 1926 онд харьцангуйн онолын тэгшитгэлүүд дээр тулгуурлан
орчлон ертөнц үргэлж өргөжиж, тэлдэг гэсэнонол дэвшүүлсэн нь хожим нь 1929 онд
Эдвин Хабблын нээлт, туршилтаар батлагдсан билээ. Хэрэв орчлон ертөнц тэлж
байгаа юм бол хэзээ нэгэн цагт нэг цэгээс эхэлсэн байх ёстой гэсэн таамаглал нь
ертөнц нэг цэгээс эхлэлтэй их тэсрэлтийн үр дүн гэсэн онолыг бий болгосон.
Түүнчлэн харьцангуйн онол нь орчлон хувьсахгүй статик чанартай, цаг хугацаа
биднээс үл хамааран урсдаг гэсэн хуучин онолыг таягдан хаяж,ертөнц хувьсамтгай,
цаг хугацаа орчлон ертөнцийн салшгүй нэг хэсэг гэсэн онолоор сольсон юм. Өөрөөр
хэлбэл, бидний “мөнх тэнгэр” бол “мөнх бус тэнгэр” бөгөөд цаг хугацааны
эхлэлтэй байжээ гэсэн үг юм. Түүнчлэн цаг хугацаа их тэсрэлтийн үр дүнд бий
боллоо гэсэн үг. Асар их таталцлын талбар нь физик орон зай, цаг хугацааг
муруйлтанд оруулдаг төдийгүй гэрлийг хүртэл хазайлгадаг болохыг харьцангуйн
онол хэлдэг бөгөөд энэ нь хожим туршилтаар батлагдсан юм. Бүх юмс, матери нь
өөрийн байрлал, хувийн цаг хугацаанаас хамаарсан шинжтэй гэдгийг энэ онол бас
хэлдэг. Уг онолын үүднээс, зэрэгцэн зогсож буй хоёр хүний цаг харилцан адилгүй
явдаг байх нь.Асар их таталцлын талбарт цаг хугацаа удаашрах, гэрлийн хурдтай
ойролцоо нисэж буй материйн геометр хэмжээст өөрчлөлт орох зэрэг ер бусын
гайхамшигтай үзэгдлүүд явагддаг байна. Харьцангуйн онолоос урган гарах ихрийн
пародокс, параллель ертөнцийн таамаглал зэрэг нь зөгнөлт уран зохиол, киноны
бэлээхэн чухал сэдэв болсоор иржээ.
XIX зууны
математикийн бараг бүх салбарт ажиллаж байсан аугаа эрдэмтэн бол Францын
математикч Анри Пуанкаре мөн. Энэ эрдэмтний 1904 онд дэвшүүлсэн, хожим нь нэг
сая долларын шагналаар үнэлэгдэх нэгэн бодлогыг Оросын математикч А.Перельман
2006 онд бүрэн шийдсэн билээ. Хэрэглээний болон онолын салбарт олон гайхашигт
нээлтүүдийг хийж, математикийн шинэ шинэ салбаруудыг үндэслэн араасаа олон
алдартай математикчдыг дагуулсан Пуанкарийг XIX зууны ноймор нэг математикчаар
тодруулсан байдаг. “Пуанкаре шинэ атар газар эзэмшин тариа тарьж, ургацыг нь
бид хураан авдаг” гэсэн хошигнол математикчдын дунд явдаг. Пуанкарегаас хойш
онол ба хэрэглээг хослуулсан универсаль математикчдын эрин дуусаж, математикийн
нарийн салбаруудын эрин эхэлсэн гэж үздэг.
1900 онд
Францад зохиогдсон Дэлхийн математикчдын II их хурал дээр Германы суут
математикч Д.Гильбертын дэвшүүлсэн математикчдын шийдвэрлэх ёстой 23 асуудал нь
XX зуунд хөгжих математикийн чиг хандлага, хэтийн төлвийг тодорхойлж, дэлхийн
математикчдийг шинэ эрэл хайгуул, онолын судалгаанд уриалан дуудсан түүхэн том
үйл явдал болсон билээ.
Д.Гильберт нь
XX зууны эхэн үеийн гарамгай математикч юм. Тухайн үед харьцангуйн онолыг
Гильберт үү, эсвэл Эйнштейн нээсэн үү гэдэг асуудал гарч байсан гэхээр ямар
хэмжээний универсаль математикч гэдэг нь тодорхой. Д.Гильбертийн дэвшүүлсэн асуудлуудаас
2016 оны байдлаар шийдэгдээгүй дөрвөн асуудал үлдсэн бөгөөд түүний нэг болох
комплекс хувьсагчийн тэгшитгэлийн шийдийн талаарх Риманы алдартай таамаглал
одоо болтол шийдлээ хүлээсээр байна. Математикийг аксиомчлах хандлагаар
математикийн бүх салбаруудыг нэгтгэсэн нэг том онолыг байгуулах асуудлыг
дэвшүүлж байсан Д.Гильбертийн зоримог программыг 1931 онд Австрийн математикч
Курт Гёдел няцаасан нь XX зууны математикт гарсан хамгийн том үр дүнгүүдийн нэг
болно.
Математикийн
аксиомуудын дурын систем гүйцэд биш байх тухай Гёделийн теоремыг Английн
математикч, физикч Роджерс Пенроуз ашиглан хүний уураг тархи ба компьютерийн
хоорондын зарчмын ялгааг харуулсанюм. Өөрөөр хэлбэл, логик схемээр
хязгаарлагдсан компьютерт тооцоолон гүйцэтгэх талаараа хүнээс илүү чадвар
байдаг ч хүний уураг тархины бүхий л үнэнийг гүйцэд мэдэж, шийдвэр гаргах
чадвар нь хэзээ ч байхгүй ажээ. Формаль-логик сэтгэлгээний явцуу талыг яруу
харуулсан Гёделийн теоремыг XX зууны эхэн үеийн агуу нээлтүүд болох харьцангуйн
онол ба квант механикийн нээлтүүдтэй эн зэрэгт тавьдаг билээ.
1936 онд
Английн математикч Алан Тьюринг орчин үеийн тооцоолон бодох техникийн ажиллах
зарчимын онолын үндсийг тавьсан юм.XXзууны шинжлэх ухааны онцлог бол
математикийн хэрэглээ асар хурдацтай нэмэгдэж, шинэ онол арга нээлтүүдийг төрөл
бүрийн салбарт хэрэглэх болсон явдал юм. Түүнчлэн математикийн шинэ онол,
чиглэлүүд зөвхөн практик хэрэглээнээс төдийгүй өөрийн хөгжлийн дотоод зүй
тогтол, шаардлагаар дэвшигдэн гарах болж, математикийг салбар бүрт хэрэглэж
байгаатай холбоотойгоор математикийн хэрэглээний салбарууд үүсэв. Жишээлбэл,
биологийн математик, уул уурхайн математик, санхүүгийн математик, эдийн засгийн
математик, компьютерийн математик, инженерийн математик зэргийг нэрлэхэд
ойлгомжтой.
Мөн халдварт
өвчний тархалтыг тооцох математик аргууд шинээр бий болжээ. Энэ аргуудыг корона
вирусийн тархалтанд ашигласан эрдэм шинжилгээний бүтээлүүд дотоод, гадаадад
хэвлэгдсээр байна.Америкийн Мэрилэндийн Санта Маригийн коллежийн профессор
Дэвид Кунг корона вирусийн тархалтыг тооцоход шугаман ба илтгэгч загварыг
ашиглах талаар судалгаа хийсэн байна.
(https://www.youtube.com/watch?v=POmuHKzt7HA)
Халдвар авсан
хүмүүсийн тоо өдөрт хоёр дахин өсөх жишээг авч илтгэгч загвараар тооцоо хийж
үзэхэд хоёр халдвартай хүн маргааш нь дөрөв, нөгөөдөр нь найм болох жишээтэй.
Ингэж үзвэл хэсэг хугацааны дараа энэ тоо аймшигтайгаар хэт их өсөх нь мэдээж.
20 өдрийн дараа халдвар авсан хүмүүсийн тоо илтгэгч загвараар 1 сая давах нь
ойгомжтой байна.Халдварт өвчин судлалд дамжуулан халдварлуулах тоо (R0)
гэдэг ойлголт байдаг бөгөөд нэг хүн халдвар тээж явах хугацаандаа дунджаар
хэдэн хүнийг халдварлуулах вэ гэдгийг илтгэдэг. Хэрвээ R0>1
бол илтгэгч загвараар бүр галд тос нэмсэн юм шиг өснө. R0<1
болох тусам өвчин аажмаар буурсаар дарагдана. Иймд дамжуулан халдварлуулах тоог
бууруулах, 1-ээс бага байлгах хамгийн сайн арга нь хүмүүс бие биетэйгээ
харьцахгүй байх юм байна.
Хэрэв хүн бүр
гараа тогтмол 20 сек угааж, маск зүүвэл дамжуулан халдварлуулах тоо буурч,
халдварлалтын муруй тэгширч, буурсаар өвчин алга болно гэж математик талаас нь
тайлбарлажээ.
Иймээс бид
өөрсдийгөө аль болох тусгаарлавал R0=0 болох бөгөөд энэ нь зайнаас харьцах, хамар,
амаа хаахын чухлыг илтгэж байна.
Манай математикчид коронавирусийн монголын эдийн засагт үзүүлэх нөлөөг тооцсон прогноз судалгаа хийж үр дүнг төр засгийн удирдлагын сонорт мөн Эрүүл мэндийн яаманд аргачлал, зөвлөмж хэлбэрээр хүргүүлээд байгаа билээ.
Математикийг
онол ба хэрэглээний математик гэж нөхцөлт байдлаар хуваах болжээ. Математик
нэгдмэл цул тул энэ хуваалт ердөө нэр төдий гэж ойлгох хэрэгтэй. Цэвэр онолын
судалгаа бусад салбарт хэрэглээгээ ихэнх тохиолдолд олдог бол практик
шаардлагаар тавигдсан бодлогууд нь математикт шинэ онолыг хөгжүүлэх суурь
болдог. Тухайлбал,XX зуунд шинээр бий болсон оновчтой удирдлагын онол нь
инженер техникийн практик хэрэглээнээс урган гарч автомат удирдлагын онол,
орчин үеийн техник технологийн процессыг удирдах онолын үндэс болж өгсөн. Нөгөө
талаар практикийн чухал ач холбогдолтой бодлогуудыг бодох нь математикчдын
нийгмийн өмнө хүлээсэн нэг үүрэг мөн.
XX
зууны Оросын гарамгай математикч А.Н.Колмогоров шавь нарынхаа мэргэжлийн хэт
явцуу чиглэлийг шүүмжлэн шавь нартаа бусад салбаруудад ажиллахыг зөвлөснөөр тэд
нар нь агаар мандал, цаг уур, далай судлал, геодези, газар зүйн салбаруудын
нэртэй эрдэмтэд болцгоожээ. Их эрдэмтэн маань хэрэглээгээ хэзээ ч үл олох, бага
ач холбогдолтой математикийн хэт явцуу чиглэлээр хязгаарлагдаж ажиллах нь
математикийн хөгжилд хортой гэдгийг анхааруулсан нь тайзан дээр хэзээ ч үл эгшиглэх
хөгжим лугаа адил гэсэн үг болов уу.
Монголын
анхны математикч эрдэмтэн, Монголын математикийн хүрээлэнг үндэслэгч, ардын
багш Л.Шагдар агсан 1993 онд Олонлог сэтгүүлд өгсөн ярилцлагадаа “Математик нь
нэг талаас аливаа шинжлэх ухааны нэгэн адил амьдрал практикаас үүсэлтэй, нөгөө
талаас ихэнх сонгомол математикчид байгалийн шинжлэлийн судлаачид байснаас
үзэхэд манай ирээдүйн математикчид хэрэглээний математикийг гол чиглэлээ болгох
нь зүйтэй болов уу’’ гэсэн нь биеллээ олж Л.Шагдарын шавь математикч, профессор
С.Тогмид агсны санаачилгаар 1991 онд МУИС-д хэрэглээний математикийн салбар
нээгдэж, энэ чиглэлээр мэргэжилтэн бэлддэг болсон нь математикийн төдийгүй
Монголын шинжлэх ухааны амьдралд гарсан түүхэн нэг үйл явдал болсон билээ. Мөн
саяхан 2019 онд ШУА-ийн харьяа Математик, Тоон технологийн хүрээлэн байгуулагдсан нь
математикийг шинэ тутам хөгжиж буй шинжлэх ухааны бусад салбаруудтай хослуулан
хөгжүүлэх шинэлэг алхам боллоо.
XX
зууны математикийн хөгжилд гарамгай нөлөө үзүүлсэн математикчид гэвэл А.Н.
Колмогоров, Л.С. Понтрягин, Л.В.Канторович, П.Эрдёш, Ф.Нейман, Ж.Нэш, А.Мальцев
гээд урт жагсаалт гарах боловч онолын ба хэрэглээний салбарт олон гайхамшигт
нээлт хийсэн Унгар гаралтай Америкийн математикч Ф.Нейман юм. Түүнийг XX зууны
хамгийн сүүлийн универсаль математикч гэж зүй ёсоор нэрлэдэг. Ф.Нейманы
үндэслэсэн алгебр болон функционал анализ нь орчин үеийн квант механикийн гол
аппарат болж өгсөн. Тэрбээр онолын математик, онолын физик, гидродинамик, эдийн
засаг, электрон тооцоолох машин зэрэг салбаруудад ажиллахаас гадна тэг
нийлбэртэй сөргөлдөөнт тоглоомын онолын үндэс болсон минимаксын алдартай
теоремыг 1928 онд баталсан байдаг. Түүний 1944 онд хамтран бичсэн “Тоглоомын
онол ба эдийн засгийн төрх байдал” гэсэн алдарт монографаар тухайн үеийн дэлхийн
математикийн төв болж байсан Принсетоныих сургууль амьсгалж байсан гэдэг.
Чухамхүү, Ф.Нейманы нөлөөгөөр Америкийн математикч Ж.Нэш түүний тоглоомын
онолыг тэг биш нийлбэртэй тоглоом болгон өргөтгөсөн нь хожим олигополь зах
зээлийн эдийн засгийн математик загвар болсноор 1994 онд Нобелийн шагнал
хүртсэн билээ. XX зуунаас эхлэн эрчимтэй хөгжиж буй байгаль шинжлэлийн
тулгамдсан асуудлыг шийдэх онолын физикийн нэгэн салбар болох квант физик нь
цэвэр математикийн онолыг ашиглан хөгжиж байна. Онолын физикчид байгалийн
дөрвөн хүч болох таталцал, цахилгаан соронзон, цөмийн хүчтэй таталцал, сул
таталцлын хүчнүүдийг нэгтгэсэн онол болох “Бүх юмсын онол”-ын математик загварт
хүч хөдөлмөр, авьяас, ухаанаа зориулж байна. Ер нь онолын физикчид гэдэг бол
математикийг физикт хэрэглэж буй гарамгай математикчид билээ. Манай нэрт
физикч, академич Х.Намсрай боловсруулсан онолоо цэвэр математикийн хэл дээр
бичсэн байдаг. “Бүх юмсын онол” гарна гэдэг нь бүх эгэл бөөмсийн оршин байх
асуудлыг тогтоож, харьцангуйн онол ба квант механикийг холбосон квант таталцлын
хуулийг томьёолох боломжтой болно гэсэн үг. Бүх юмсын онолыг байгуулах алхамд
сүүлийн үед хөгжиж буй “утасны онол” онцгой анхаарлыг татаж байна.Физик орон
зай, хугацааг 10 хэмжээст огторгуйд авч үзэх нь энэ онолын онцлог юм. Энэ
онолыг математикчид ертөнцийн үүсэл хөгжлийн асуудалд хэрэглэснээр их
тэсрэлтийн агшинд ертөнц бол ямар нэг бага хэмжээтэй (стандарт онолоор
ертөнцийг тэг хэмжээтэй гэж үздэг) байсан гэдгийг тогтоожээ.
Утасны
онолын зэрэгцээгээр супер утасны онол, браны онол, M-онол эрчимтэй хөгжиж түүнд
хэрэглэгдэх математик онол аргууд, улам бүр нарийсч, үзтэл хүндэрч байна. Браны
онолын хүрээнд орон зай, цаг хугацааны огторгуйг таван хэмжээст гэж үздэг.
Орчлон ертөнц тасралтгүй үүсч, мөхдөг гэдэг циклийн онол мөн л хөгжиж байна.
Ертөнц тодорхой хязгаар хүртэл тэлээд дараа нь огцом агшилтад орж хумигдсаар
онцгой (сингуляр)цэгт хүрмэгц дахиад их тэсрэлт үүснэ гэдэг нь энэ онолын үзэл
санаа. Энэ бүгд математикаар тайлбарлагдаж байна гэж бодохоор К.Гауссын
хэлсэнчлэн “Математик нь бүх шинжлэх ухааны хаан” гэдэг нь нотлогдсоор байна.
Ертөнцийн детерминистик загвар нь бүх юмсын онолд ажиллахгүй нь тодорхой болсон
үед Гейзенбергийн тодорхой бус болон эгэл бөөмсийн санамсаргүй бөгөөд энерги
бага зарцуулах чанарыг загварчилж чадах стохастик тоолол, стохастик оновчтой
удирдлага нь бүх юмсын онолыг нээхэд хувь нэмрээ оруулж болох юм. XXI зууны
математикийн онцлог бол түүний салбарууд нь хоорондоо нягт уялдаатайгаар хөгжин
нэгдсэн интеграцид орж байгаа явдал юм. Энэ үйлсэд хамгийн их нөлөө үзүүлсэн
судалгаа хийсэн математикчдад нэр хүндтэй шагнал олгодог болов. Тухайлбал, 2019
онд математикийн салбарын хамгийн нэр хүндтэй Абелийн шагналыг Америкийн
математикч К.Ухленбек хүртсэн. 2015 оны энэ шагналыг мөн Ж.Нэш тухайн уламжлалт
дифференциал тэгшитгэлийн геометр анализ дахь хэрэглээгээр хүртсэн билээ.
Математикчид
судлаачид уу, эсвэл бүтээгчид үү гэсэн асуулт байнга гардаг. Шинжлэх ухаан бол
зөвхөн үнэнийг эрдэг бөгөөд заримдаа энэ үнэн гоёмсог сайхнаар оршино. Гоё
сайхан руу тэмүүлж буй зураачийн бүтээл нь үнэний оршихуйтай давхцах нь олонтаа
байдаг. Математикчид үнэн ба гоё сайхны хайгуулд мордон нэгэн зэрэг судлаачид
бас бүтээгчид болдог. Судлаачид нь хорвоог орхисны дараа ч бүтээл нь байгалийн
нууцыг тайлан хүн төрөлхтний сайн сайханд үйлчилсээр л байдагт математикийн
агуу их чадал оршино.
Пифагор
теоремоо нээж байхдаа 2500 жилийн дараа математикт юу болохыг төсөөлөөгүй
байсан биз. Математикийн нээлтийн үнэ цэнийг зөвхөн цаг хугацаа тодорхойлдог.
Ирээдүйд математикийн шинээр буй болох салбарын нээлтүүд одоогийнхоос илүү цар
хүрээтэй, нарийн төвөгтэй үзэгдлийг тайлах нь гарцаагүй. Хүн төрөлхтний оюун
ухаан, бодол санааг математикийн эрэл хайгуул тасралтгүй эзэмдсээр л байх юм.
Ирээдүйн математикчид ямар нээлт хийхээс үл хамааран математик нь нэгдмэл цул
байж, шинэ шатанд гаран хөгжсөөр байх авай. Математикийн зарим нээлтүүд ойрхон
байхад зарим нь хэдэн зуун жилийн дараа ч гарч болно. Хүн бүр математикч байх
албагүй ч шинжлэх ухаан, технологийн үсрэнгүй хөгжил математикийн зайлшгүй
мэдлэг, боловсролыг шаардсаар байх юм. Математикч болох нь тодорхой хэмжээний
эр зориг, эрсдэл, танин мэдэхүйн хүсэл эрмэлзэл, зөн мэдрэмж, авьяас чадварыг
шаардана. Уйгагүй хөдөлмөр, нөр их хичээл зүтгэлийн үр дүнд математикч болсон
хүмүүс хэдэн зуугаар байхад, өөрийн төрөлхийн сод авьяас, гоц оюун ухаанаар
цойлон гарсан математикчид бас бий. Тухайлбал, математикийн төрөл бүрийн
чиглэлүүдээр нээлт хийсэн сод математикч нар гэвэл К.Гаусс, Э.Галуа,
С.Рамануджан, П.Эрдёш, Г.Перельман, Т.Тао гээд үргэлжлүүлэн нэрлэж болно.
Цаашилбал, 31 настайдаа Филдсийн шагнал хүртсэн Америкийн математикч Тао нь
олон улсын математикийн олимпиадаас 10,11,12 насандаа хүрэл, мөнгө, алтан
медаль хүртэж, Принстоны их сургуулийг 21 насандаа дүүргэж, 22 настайдаа
эрдмийн зэрэг хамгаалсан сод авьяастай математикч бөгөөд жинхэнэ авьяас гэдэг
нь энэ юм.
Математикч
тухайн асуудлыг судлахдаа өөрийн олж авсан мэдлэг, боловсрол, чадвар болон
боломж нөөц дээр тулгуурлан хийх ёстой. Өөрийн боломжоос хэт ахадсан бодлоготой
насан туршдаа зууралдаад, шийдэлгүй амьдралаа сүйрүүлсэн олон математикчид бий.
Үүний тод жишээ нь дээр өгүүлсэн Фермагийн их теорем билээ. Энэ теоремыг
математикийн ертөнцөд “чөтгөрийн теорем” гэж нэрлэдэг ба 300 гаруй жилийн турш
хэдэн арван математикчид шийдэж чадалгүй амьдралаа бусниулж, зарим нь сэтгэл
гутралд орон, сэтгэцийн өвчинд нэрвэгджээ. Тэгэхлээр энэ асуудлыг нэг мөр
шийдэж өгсөн Э.Уайлсд математикчид талархах ёстой юм. Ер нь математикчид
“толгойныхоо хэрээр теоремоо баталж, тогооныхоо хэрээр өрмөө ид” гэсэн зарчмыг
баримталж ажиллах нь зөв болов уу. Эртний Грекүүдийн сонирхож байсан орчлон
ертөнцийг геометрийн зөв дүрсүүдээр хучих хучилтын бодлого болон 200 гаруй
жилийн түүхтэй Малфаттын бодлогын нэгдсэн онол, аргыг боловсруулсан үүнийг
бичигч бивээр уг ажлынхаа үр дүнгээ олон улсын мэргэжлийн сэтгүүлүүдэд
зөвшөөрүүлсэн маань олон зуун математикчдын хүнд ажлыг хөнгөлж өгсөн байх гэж
бодож явдгаа нуух юун.
Хөгжлийн
үй түмэн авиануудаас нэртэй хөгжимчид хамгийн уянгалаг хөг аялгууг оновчтойгоор
сонгож хүн төрөлхтөнд сонгодог хөгжим хэлбэрээр хүргэдэг бол нэрт математикчид
хязгааргүй математик дундаас хамгийн их анхаарал татсан судалгааны сэдвийг
сонгон авч математикийн ертөнцөд шинэ онол ба хэрэглээ болгон түгээдэг. Дэлхийн
математикчид жил тутам 250,000 орчим теорем баталж, үр дүнг мэргэжлийн
сэтгүүлүүдэд хэвлүүлсээр байна. Эдгээр ажлуудын чанарыг шүүн хэлэлцэж
хэвлүүлдэг нэр хүндтэй мэргэжлийн олон улсын сэтгүүлүүд бий болсон төдийгүй уг
ажлын эшлэгдсэн байдлыг харгалзан математикчдын чансааг (h-индекс)
тооцдог болов.
Францын
математикч Бенуа Мандельбротын нэрээр нэрлэгдсэн геометрийн нэгэн фрактал
угалзан дүрс тийм ганган гоёмсог байгаагүй бол математикчид түүнд анхаарлаа
бага хандуулах байсан биз. Мандельбротын олонлог нь байгалийн гайхамшигт дүрс
ба математикийн сайхан томьёоны ер бусын гоёмсог хослолыг илэрхийлдэг. “Ганган
гоёмсог томьёоны цаана заавал хэрэглээ байдаг” гэж Нобелийн шагналт физикч
П.Диракийн хэлсэн нь үүнийг гэрчилнэ. Орчин үед математикийн шинжлэх ухаан 100
гаруй чиглэлээр хөгжиж байна. Математик бол хамтын хөдөлмөр билээ. Дөрвөн жил
тутам зохиогддог дэлхийн математикчдын их хурал 2014 онд Сөүл хотноо 120 орны
5000 математикчдыг хуран цуглуулж, математикийн салбарт гарсан сүүлийн ололт
амжилтыг нэгтгэн дүгнэсэн билээ. Энэ их хурал дээр 1936 оноос эхлэн уламжлал
болсон математикийн нэр хүндтэй шагнал болох Филдсийн медалийг тухайн салбарт
онцгой нээлт хийж, математикийн хөгжилд үнэтэй хувь нэмэр оруулсан 40 хүртэл
насны математикчдад олгодог боллоо. XXI зууны шинжлэх ухааны шинэ чиглэлүүд
болох их өгөгдөл, машин сургалт, хиймэл оюун ухаан, өгөгдлийн анализ зэрэг нь
шууд математикийн шинжлэх ухаааны сүүлийн нээлт ололтыг ашиглан хөгжиж байна.
“Бүх юмс тоо” гэсэн Пифагорын алдарт сургаалын хөдөлшгүй үнэнийг бүх цагийн
математикийн шинжлэх ухаан нотолсоор байна. Эцэст нь үүнийг бичигч би вээр
математикийн онол ба хэрэглээг хослуулсан саяхны түүх сөхье.
Орчин
үеийн үйлдвэрлэлийн технологийн болон хими, биологийн процессыг загварчлахад
хамгийн өргөн хэрэглэгддэг арга нь 1965 онд Америкийн математикч А.Фишерийн
үндэслэсэн туршилтыг төлөвлөх онол юм. Туршилтыг төлөвлөх онолын 2 дугаар
эрэмбийн загварын оновчлолын бодлогууд нь локаль аргуудаар шийдэгдэж ирсэн
байдаг. Дээрх оновчлолын бодлогуудын хувьд глобаль шийдийг олох нь онол,
практикийн хувьд нэн чухал билээ. Глобаль шийд нь локаль шийдүүдээс техник
эдийн засгийн үр ашгийн хувьд илүү сайн үр дүнг өгдөг давуу талтай. Үүнийг
бичигчийн глобаль оновчлолын шинэ онол, аргыг боловсруулан туршилтыг төлөвлөх
онолд хэрэглэсэн үр дүн нь математикийн шинжлэх ухаанд нээлт гэж зөвшөөрөгдөн
дэлхийн математикчдын их хурал, олон улсын хурлуудад хэлэлцүүлэгдэн импакт
фактор өндөртэй мэргэжлийн олон улсын сэтгүүлүүдэд хэвлэгдэн зохиогчийн эрхээр
баталгаажсан юм. Ингэснээр туршилтыг төлөвлөх онол нь орчин үеийн оновчлолын онол
аргаар өргөжин тэлж, хөгжлийн шинэ шатанд гарч, судалгааны иж бүрэн хэрэгсэл
болов. Энэхүү шинэ аргыг ШУА, МУИС-ийн эрдэмтэд, “Эрдэнэт
үйлдвэр ТӨҮГ”-ын инженер, техникийн ажилтан нартай хамтран тус үйлдвэрийн
баяжуулах процесст хэрэглэснээр зэсийн металл авалтыг хамгийн их байлгаж,
урвалжуудын оновчтой тоо хэмжээг тогтоох боломжтой болсон юм. Ийнхүү туршилтыг
төлөвлөх ажлын шинэ хандлага, арга нь эх орны үйлдвэрт нэвтэрч эдийн засгийн үр
ашгаа өгч эхлээд байна. Цаашид зөвхөн Эрдэнэт үйлдвэрээр зогсохгүй “Оюу
толгой”болон металлын хүдэр боловсруулдаг бусад үйлдвэрүүдэд нэвтрүүлбэл нэгэнт
ашиглагдаж байгаа ордуудыг илүү үр өгөөжтэйгөөр бүрэн дүүрэн ашиглаж улс орны
эдийн засагт ихээхэн ач холбогдолтой болно гэж зохиогчид бид үзсэн.Энэ нь
математикийн шинэ онол, арга нь хэрхэн практикт нэвтэрч инноваци болон
хувирдгийг харуулж байгаа тодорхой жишээ болой.
Ай, суут Пифагорын амнаас нэгэнтээ унасан “Бүх юмс тоо” гэсэн алтан үг юутай үнэн бэ...