150 гаруй жилийн турш гадаргуугийн онолд Францын математикч Пьер Оссиан Боннегийн (Pierre Ossian Bonnet) үеэс эхтэй нэгэн ерөнхий таамаглал хүлээн зөвшөөрөгдөж ирсэн: Хэрэв компакт гадаргуугийн цэг бүр дээрх метрик болон дундаж муруйлт нь тодорхой байвал тухайн гадаргууг цор ганц байдлаар тодорхойлж болно. Гэвч Мюнхений Техникийн Их Сургууль (Technical University of Munich, TUM), Берлиний Техникийн Их Сургууль (Technical University of Berlin) болон Хойд Каролина мужийн их сургуулийн (North Carolina State University) гурван математикчаас бүрдсэн баг энэхүү нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн таамаглалыг няцааж чадлаа.
Олон жилийн судалгааны үр дүнд битүү, цагариг хэлбэртэй гадаргуугийн хувьд ч локаль хэмжилтийн өгөгдөл нь заавал ганц ерөнхий хэлбэрийг тодорхойлдоггүй болохыг харуулсан бодит тохиолдлыг анх удаа олж тогтоох боломжтой болсон юм. Энэхүү нээлт нь 2025 онд гарсан бөгөөд Publications mathématiques de l'IHÉS сэтгүүлд эрдэм шинжилгээний өгүүлэл болон хэвлэгдсэн байна.
Үүний тулд тэд "цагариг" гэж нэрлэгддэг, ерөнхий бүтцийн хувьд өөр боловч ижил метрик болон дундаж муруйлттай хоёр компакт, бие даасан, цагариг хэлбэртэй гадаргууг бүтээжээ. Судлаачид ийм жишээг олон арван жилийн турш үр дүнгүй хайж байсан юм.
Метрик нь гадаргуу дээрх зайг тодорхойлдог буюу гадаргуу дээрх хоёр цэг бие биеэсээ хэр хол байгааг илэрхийлдэг. Дундаж муруйлт нь гадаргуу орон зайд хэр зэрэг хүчтэйгээр гадагш болон дотогшоо муруйж байгааг заадаг.
Боннегийн ерөнхий таамаглал ба түүний хязгаарлалт
Боннегийн таамаглалд үл хамаарах тохиолдлууд мэдэгдэж байсан ч тэдгээр нь зөвхөн компакт бус гадаргуу дээр л ажиглагддаг байв. Ийм төрлийн гадаргуу нь хавтгай шиг нэг чиглэлд хязгааргүй үргэлжилдэг, эсвэл гэнэт төгсдөг ирмэгүүдтэй байдаг. Харин бөмбөрцөг шиг компакт гадаргуугийн хувьд метрик болон дундаж муруйлт нь гадаргууг цор ганц байдлаар тодорхойлдог болох нь өмнө нь батлагдсан байдаг.
Цагариг хэлбэртэй гадаргуугийн хувьд өгөгдсөн метрик болон дундаж муруйлт нь дээд талдаа хоёр өөр торуса (tori) гадаргуутай дүйцэж болохыг мэддэг байсан. Хэдийгээр ийм боломж байгааг хэдэн арван жилийн турш мэдэж байсан ч бодит жишээ дутагдаж байв.
Дутагдаж байсан " цагариган хос"-ын жишээ олдлоо
Гурван математикч яг тэрхүү жишээг одоо гаргаж өгч байна.
"Олон жилийн судалгааны дараа бид битүү, цагариг хэлбэртэй гадаргуугийн хувьд ч локаль хэмжилтийн өгөгдөл нь заавал ганц ерөнхий хэлбэрийг тодорхойлдоггүйг харуулсан бодит тохиолдлыг анх удаа олж чадлаа" гэж Мюнхений Техникийн Их Сургуулийн Тооцоолол, мэдээлэл, технологийн сургуулийн Хэрэглээний болон тооцооллын топологийн профессор Тим Хоффман (Tim Hoffmann) хэлсэн байна. Мөн тэрээр "Ингэснээр бид гадаргуугийн дифференциал геометрийн салбарт хэдэн арван жил яригдсан асуудлыг шийдвэрлэх боломжтой болж байна" гэжээ.
Компакт гадаргуу - Геометр болон топологийн шинжлэх ухаанд компакт гадаргуу (compact surface) гэдэг нь хязгааргүй үргэлжилдэггүй, "битүү" бөгөөд "хязгаарлагдмал" шинж чанартай дүрсийг хэлнэ.
Мэдээ бэлтгэсэн: Э.Дэлгэрмаа /Мэдээллийн технологийн салбар, ЭША/
Эх сурвалж: Alexander I. Bobenko et al, Compact Bonnet pairs: isometric tori with the same curvatures, Publications mathématiques de l'IHÉS (2025). DOI: 10.1007/s10240-025-00159-z